728 x 90

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Kiedy (nie) warto rywalizować na rynku?

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Kiedy (nie) warto rywalizować na rynku?

Do oszczędnych acz zdenerwowanych: Zanim zaczniesz drogi Czytelniku denerwować się nawiasami, racz zauważyć, że po wyrzuceniu zawartych w nich uzupełnień, tekst nadal jest kompletny (dla pedantów: nie dotyczy wzorów). Mniej czytania. Chociaż niektórzy może woleliby wylewne przypisy u dołu strony…

W 1944 roku von Neumann z Morgensternem opublikowali książkę ,,Teoria gier i zachowania ekonomicznego” uznawaną za początek nowoczesnej teorii gier. Strategie minimaksowe w przypadku gier o sumie zerowej (ja zyskuję co ty tracisz) okazały się sukcesem. Problem stanowiły gry o sumie niezerowej. W przypadku czysto antagonistycznych gier o sumie niezerowej sytuacja jest jasna. Jednak co zrobić, gdy występuje element częściowej rywalizacji i częściowej współpracy? John Nash postawił na bezpieczeństwo i uznał element rywalizacyjny za dominujący. Tak pojawia się równowaga Nasha. Problemów z tym pojęciem co nie miara. Na ten przykład równowag w grze może być wiele, a do tego jedne jawnie gorsze, inne jawnie lepsze. Powstał cały nurt badawczy w teorii gier poświęcony wyborowi równowagi (equilibrium selection). Jej prominentni przedstawiciele, Harsanyi i Selten, rozstrzygnęli nawet w 1988 roku grę Rousseau w polowanie (jeleń, czy zając; stag hunt). Problem polowania wyabstrahowany do postaci nędznej tabelki liczb odzwierciedla fundamentalne pytania o współpracę międzyludzką i funkcjonowanie społeczeństwa. Nie dziw, że przyciągnął swą zwięzłością filozofów moralności i jest obiektem nie mniej gorliwej dyskusji niż wszędobylski dylemat więźnia. W 1994 obaj panowie do spółki z Nashem odebrali nagrodę Banku Szwedzkiego im. Alfreda Nobla. Rok później Harsanyi opublikował artykuł, w którym odwrócił hierarchię kryteriów wyboru równowagi ogłoszoną w 1988 (niezły żart jak na noblistę).

Badaniem gier zajmowano się od dawna, na długo przed 1944 r. To z potrzeb analizowania gier hazardowych (jak również i fizyki, by oddać hołd ustawie ograniczającej towarzyską partyjkę pokera) wyrosło prawdopodobieństwo. Ale oprócz gier losowych istnieją też gry, w których ruchy wykonujemy samodzielnie, bez udziału losu. Jedną klasę takich gier stanowią gry kombinatoryczne, czyli takie jak go, szachy, warcaby, NIM i kółko-krzyżyk. Tu od strony matematycznej ,,wszystko wiadomo”. Obowiązuje twierdzenie Zermelo: Każda gra kombinatoryczna posiada rozwiązanie. (Uwaga! Zermelo ma jeszcze drugie twierdzenie na sumieniu: o dobrym uporządkowaniu zbioru). Każda gra, a więc i go. W teorii. (Wiem, wiem – AI, AlphaGo). Co nie znaczy, że ludzie nie próbują tego zmienić, o czym świadczy wymowny tytuł serii książek ,,Games of no chance”. (I nie chodzi w nim o brak szans po stronie matematyków, aby uciąć satysfakcję tych, którzy z powodu pana Zermelo już spisali matematyków, logików i teoretyków informatyki na straty. Zresztą pełno w ,,Games of no chance” nawiązań do algorytmów komputerowych, jeśli ktoś za konkretną uznaje tylko matematykę wykonywalną na komputerze. Aha! ,,Matematyka konkretna” to tytuł niezłego podręcznika dla studentów. Jednym z jego autorów jest Knuth, znany szerzej jako twórca TeX-a oraz autor biblii ,,Sztuka programowania”. Dodajmy może jeszcze, że autor przewiduje nagrody pieniężne za znalezienie błędów w anglojęzycznych oryginałach swej biblii).

Gry świadomego wyboru, którymi zajmowali się von Neumann, Morgenstern, Nash i in., to jednak nie gry kombinatoryczne. Tu chodzi o rywalizację ekonomiczną, niepewność strategiczną. A więc nie o obiad darmowy za to kto pierwszy całkę policzy tu idzie (http://krakow.eska.pl/poznaj-miasto/obiady-za-darmo-w-jednej-z-krakowskich-restauracji-trzeba-tylko-obliczyc-calke-audio/424034), lecz o przechytrzenie przeciwnika. Właśnie, czy na pewno przeciwnika? Przypomnijmy, że trudność z grą strategiczną o sumie niezerowej polega na tym, iż występują w niej dwa elementy przeciwnej natury: rywalizacja i współpraca. Wieść gminna niesie, że Nash bał się szpiegów. Jako podstawę swej definicji równowagi przyjął bezpieczeństwo rozwiązania w obliczu rywalizacji, nie zaś współpracę celem podniesienia wspólnych zysków. Współpraca wymaga zaufania. I ten aspekt zbadamy dalej w przypadku duopolu Cournota. Dokładniej, bazując na prostym modelu matematycznym opisanym w książce Watsona ,,Strategia”, omówimy rywalizację przedsiębiorców w obliczu potencjalnej współpracy.

Powiedzmy, że mamy na rynku dwie duże firmy. Niech i oznacza nr firmy (i=1,2). Firmy produkują podobny towar o zbliżonych parametrach (komórki, cegły, rowery). Konkurują ze sobą poprzez ustalanie wielkości produkcji: q1 w przypadku firmy 1, a q2 w przypadku firmy 2. Powiedzmy, że po uwzględnieniu kosztów produkcji klienci są gotowi płacić za jednostkę towaru cenę 900 (jednostek monetarnych). Gdyby funkcjonowała tylko jedna firma, a rynek był nieskończenie chłonny (napływ towaru nie zmniejszałby ceny sprzedaży), to zysk i-tej firmy powinien wynieść fi(qi)=qi * 900; wyrazistą gwiazdką oznaczyliśmy tu mnożenie.  Pojawianie się towaru ma jednak wpływ na cenę – im więcej towaru, tym jest tańszy. Powiedzmy, że cena towaru będzie liniowo spadać wraz z napływem kolejnych jednostek towarowych i wynosić będzie (900 – qi), gdy dostarczono na rynek qi jednostek towaru. Zatem i-ty producent powinien osiągać zysk na poziomie fi(qi)=qi * (900 – qi). Wykresem funkcji zysku qi →fi(qi) jest parabola.

Gdzie podziała się interakcja firm? No właśnie. Skoro obie firmy dostarczają towar na rynek, to ich łączny wkład (q1+q2) powoduje spadek cen. Uwzględniwszy to, wcześniejsza formuła na cenę (900 – qi) przybiera teraz postać (900 – (q1+q2)). Tym samym i-ty producent rywalizujący z konkurentem osiągnie zysk na poziomie fi(q1 , q2)=qi * (900 – (q1+q2)). Odnotujmy jeszcze, że wyrażenie na cenę (900 – (q1+q2)) odzwierciedla również chłonność rynku w zależności od zarzucenia go towarem. Maksymalnie klienci zakupić mogą q1+q2 =900 jednostek towaru, co odpowiada zerowym zyskom firm. Więcej klienci nie zakupią, choćby za śmiesznie niską cenę. Firmy, aby osiągnąć wyższą sprzedaż, musiałyby dopłacać do swoich produktów (ujemna cena).

(Jeśli ktoś martwi się o małe liczby w potężnym duopolu, to niech weźmie pod uwagę, że jednostkami towaru mogą być tysiące sztuk/ton, a jednostkami monetarnymi mogą być tysiące złotych.)

Jak mają zachować się przedsiębiorstwa, by osiągnąć jak najwyższe zyski? Dobre pytanie z niełatwą odpowiedzią. Trudność nie zasadza się tu jednak w indolencji matematyki. (Klasyczne: jak to matematycy nie potrafią tego obliczyć? Otóż obliczyć potrafi każdy; parabola – rzecz szkolna.) Odpowiedź na pytanie jest kwestią pozamatematyczną. Analiza matematyczna pozwala jedynie ściśle przedstawić wnioski, ale… nic nie wskóra nawet sztuczna inteligencja przeglądarki, jeśli wbrew ustalonym od ponad roku zwyczajom nagle zachce nam się hawajskiej, choć wielki brat podpowiadacz wysnuł wniosek, że o żadnej pizzy z owocami mowy być nie może; takeśmy go skutecznie wyuczyli.

Zbadajmy sprawę pod innym kątem. Jak mogą zachowywać się gracze na rynku? Mamy co najmniej trzy możliwości: (1) firmy rywalizują na ostro – model konkurencji; (2) firmy się dogadują – model kartelu; (3) jedna z firm podąża za drugą – model liderski (leader – follower). Każde z zachowań prowadzi do innego typu rozwiązania. W przypadku (1) pojawi się równowaga Cournota (pierwowzór ogólnej równowagi Nasha). W przypadku (2) pojawi się koncepcja optimum Pareto (,,społecznie korzystne”, gdzie przez społeczność rozumiemy przedsiębiorców, a nie klientów; na marginesie: Vilfredo Pareto miał przekonania socjalistyczne). W przypadku (3) pojawi się równowaga von Stackelberga.

Analiza konsekwencji zachowań graczy przebiega, luźno rzecz ujmując, następująco. Zacznijmy od kartelu (2). Gracze mogą się dogadać ile mają łącznie produkować, by zyski były jak największe, a ponadto – z uwagi na symetrię – podzielą obowiązek produkcyjny po równo. Gracze (właściwie partnerzy biznesowi) naśladują się nawzajem. Takie rozwiązanie jest optymalne w sensie Pareto. Bez założenia symetrii ról istnieją też inne optima. (Pamiętamy problem selekcji równowag?) Największy opór przed przyjęciem rozwiązania w postaci kartelu budzi kwestia wzajemnego zaufania. Jeden z graczy, celem zwiększenia zysków, mógłby nadużyć sytuacji i podkręcić swój poziom produkcji, podczas gdy jego naiwny partner utrzymywałby poziom produkcji zgodny z zawartą umową. By zasiać jeszcze większe zwątpienie należy wspomnieć, że tworzenie karteli jest w większości krajów prawnie zakazane.

Paranoja podejrzeń (wsparta systemem prawnym) prowadzi nas wprost w objęcia równowagi Nasha/Cournota, czyli ku konkurencji, a właściwie ostrej rywalizacji (1). Jak to bywa w rozważaniach nad oszukańczą naturą ludzką, sytuacja nabiera niemal tragikomicznych kształtów (np. ,,Ten kto kogo ma lub nie ma, ten zawiśnie pod obiema” jako efekt dekryptażu tajnej wiadomości w powieści Lema ,,Rękopis znaleziony w wannie”, albo zachowanie de Funesa odtwarzającego role w molierowskich komediach; że nie wspomnę słynnej maksymy skąpca: ,,Jak chcesz wyjść za mąż za mojego syna dla pieniędzy, to wyjdź za mąż za mnie. Majątek jest mój. A wiesz gołąbeczko dlaczego jestem taki bogaty? Bo nigdy nie korzystam z pośredników!”) Należy rozważyć co będzie, gdy wytwarzamy q1 jednostek produktu? Wtedy konkurent będzie wytwarzał q2 jednostek produktu, tak aby znając nasz poziom produkcji maksymalizować zysk. Rozważając najlepszą odpowiedź konkurenta q2 na nasz poziom produkcji q1 musimy wybrać jak najkorzystniejszy dla nas poziom produkcji. Ale chwila, to rywala nie zmyla. On kalkuluje podobnie. Spirala domysłów się nakręca: on wie, że ja wiem, że on wie, że ja wiem… Okazuje się, że jest taki punkt spoczynku (q1’, q2’), w którym najlepsza odpowiedź gracza 1 q1(q2(q1’)) na najlepszą odpowiedź gracza 2 q2(q1’) na wybór gracza 1 q1’ uzgadnia się z wyjściowym wyborem gracza 1 q1’, tzn. q1(q2(q1’)) = q1’, a jednocześnie najlepsza odpowiedź gracza 2 q2(q1(q2’)) na najlepszą odpowiedź gracza 1 q1(q2’) na wybór gracza 2 q2’ uzgadnia się z wyjściowym wyborem gracza 2 q2’, tzn. q2(q1(q2’)) = q2’. (Rzecz kojarzyć się może z efektem naprzeciw siebie ustawionych luster, co prowadzi do wielce interesujących rekursji; infinity mirror).

W sytuacji, gdy przedsiębiorstwo wkracza na rynek, na którym już funkcjonuje lider o miażdżących możliwościach, nowicjusz może dojść do wniosku, że sensowną strategią jest podążanie za liderem (3). Prowadzi to do koncepcji równowagi von Stackelberga. Wytwarza się ona dość podobnie jak równowaga Nasha, ale tym razem występuje asymetria graczy. Lider wie, że będą za nim podążać; nikt nie ośmieli się wstąpić na drogę otwartej rywalizacji. Lider ustawia wobec tego jak najkorzystniejszy poziom swojej produkcji z uwzględnieniem, że inni będą jedynie dopasowywać swoją produkcję, maksymalizując zyski w odniesieniu do jego decyzji, decyzji dominującej. Bez piramidy naprzemiennego odgadywania strategii i wzajemnego szachowania najlepszymi odpowiedziami, tak jak to miało miejsce w przypadku konkurencji równych sobie (1).

I mamy te wszystkie scenariusze teraz przeliczać? No cóż, najlepsze odpowiedzi strategiczne na produkcję konkurenta łatwo znajdywać jako maksima funkcji kwadratowej (wierzchołek paraboli, mówi nam to coś?) Nie potrzebujemy zatem mitycznego rachunku różniczkowego do wyznaczania ekstremów funkcji. Dla przykładu, przy wyznaczaniu symetrycznego optimum Pareto (firmy współpracują, naśladują się) gracze maksymalizują zyski opisane funkcjami jednej zmiennej fi(qi)=qi * (900 – 2qi) = 2qi * (450 – qi). Uproszczenie otrzymaliśmy uwzględniając warunek symetrii q1 = q2 w funkcjach zysku fi(q1 , q2), które w ogólności zależą od dwóch zmiennych. A maksymalizacja zysku? Chyba już widać, że zachodzi przy q1 = q2 = 450/2. Odręczna analiza przypadku (2) jest więc prosta. Przypadek (3) jest nieco trudniejszy, a najtrudniejszy jest przypadek (1).

Mamy używać papieru i długopisu? Niekoniecznie, chociaż nawet gry komputerowe prototypuje się za pomocą tych archaicznych środków. Możemy posłużyć się umiejętnie komputerem. Przykład rozwiązania naszych bolączek widnieje pod adresem https://www.geogebra.org/material/show/id/grK98Bp3 [Duopol Cournota] w serwisie GeoGebra.org.

Przy okazji widać, że stworzenie sensownej aplikacji, nawet z pomocą edukacyjnego samograja dla uczniów, nie obejdzie się bez prototypowania na kartce papieru. Po co więc komputer? Wizualizacja. Najczęściej jednak programy służą do tego co zawsze: automatycznego i masowego przetwarzania informacji. (Stąd historyczna nazwa ,,informatyka” dla stosownego działu cybernetyki, z którego to współczesna informatyka się wyemancypowała). Program raz dobrze przemyślany działa sprawniej od pomysłodawcy. (Ponadto dobrze wykonany projekt można przystosować do innych potrzeb, albo wykorzystać doświadczenie przy nim zdobyte do realizacji nowych wyzwań. Niemal inżynieria oprogramowania się tu nam wprasza).

Przyzwyczajeni do zaskoczeń, które niesie z sobą każdy kolejny dzień, raczej nie omdlejemy samodzielnie odkrywając, że ostra rywalizacja wcale nie musi być najkorzystniejsza dla przedsiębiorstw (zmilczamy tu analizę z punktu widzenia klientów). Bycie liderem przynosi ogromną korzyść tylko jednemu uczestnikowi rynku. Jednak pokusa dogadania się firm, pomimo niepewności dotrzymania porozumienia, jest na tyle duża, że system prawny zabezpiecza dobro klienta i zakazuje tworzenia karteli. Czyli kartele są z gruntu złe dla klientów? Niekoniecznie. Może powrócimy do tego przy innej okazji.

LITERATURA

  1. Malawski, A. Wieczorek, H. Sosnowska: Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych. PWN 2004
  2. Watson: Strategia. Wprowadzenie do teorii gier. WNT 2005
3 comments

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked with *

Cancel reply

3 Comments

  • fabek
    13 lipca 2017, 09:56

    > na marginesie: Vilfredo Pareto miał przekonania socjalistyczne
    wcale nie

    REPLY
    • Druh much@fabek
      13 lipca 2017, 17:25

      Nadinterpretowałem. 🙂 Za Wikipedią: ,, konflikt i walka pomiędzy przeciwstawnymi siłami społecznymi" – walka klas? ,,Większość działań podejmowanych przez jednostkę jest jednak nielogiczna", dalej: ,,Pareto uważał, że elita jest złożona z tych ludzi, którzy w danej dziedzinie działania osiągają najwyższe wskaźniki. Odchodził […] od tradycyjnego rozumienia elity jako arystokracji." – niebieska krew zbędna, towarzysze z KC PZPR wiedzą lepiej? Bo formalnie ,,publikował w fachowych pismach […] artykuły wskazujące, według niego, na bezcelowość socjalizmu." Jak się zdaje nie wierzył w homo oeconomicusa. Wg Adama Smitha ,,jednostka jest wolna i egoistyczna, ale poprzez koncentrację na własnym interesie [interesny nie-geniusz Korwina – wstawka moja] przyczynia się do dobra ogólnego". I już wiemy dlaczego język matematyki jest ścisły, a język luźnych rozważań prowokuje wojny ideologiczne. Coś na kształt: tym bardziej gorliwe toczyli spory ideologiczne, im mniej się w poglądach różnili; ludzi o odległych poglądach ignorowali. Gdzie to było…? Ferdydurke?

      REPLY
  • Druh much
    13 lipca 2017, 18:32

    Z Wykopowych komentarzy.

    1. ,,W optimum Pareto żadna z firm nie może zmienić swoich działań tak, by nie spowodować jednocześnie pogorszenia sytuacji rywala". To jest tzw. ścisłe optimum Pareto. Przy nieścisłym optimum Pareto może być płasko u jednego z graczy, tak jak u drugiego gracza w grze o zbiorach strategii S_1=S_2={A,B} i funkcjach wypłat f_1, f_2: S_1 x S_2 -> R, f_1(A,A)=f_1(A,B)=1, f_2(A,A)=f_2(A,B)=2, f_1(B,A)=f_1(B,B)= f_2(B,A)=f_2(B,B)=0. Różnica między ścisłym ekstremum (ostry szczyt), a ekstremum (dopuszczamy płaskowyż).

    2. "Model duopolu Cournota nie jest modelem optymalnym w sensie Pareto, natomiast istnieje w nim równowaga Nasha" W modelu duopolu z zadanymi w artykule funkcjami istnieje dokładnie jedna równowaga Nasha (ścisła) – scenariusz (1) rywalizacji, a ponadto cały front Pareto z jednym optimum symetrycznym – scenariusz (2) kartelowy. Niezgodność optimum z równowagą jest motorem do rozważenia współpracy zamiast rywalizacji. Cytat sugeruje, że termin duopol Cournota dotyczy wyłącznie gry między firmami, z równowagą Nasha jako jedynie słuszną koncepcją rozwiązania. Tymczasem w artykule rozważane są trzy koncepcje rozwiązania gry (f_i:RXR->R, i=1,2), którą nazywa się duopolem Cournota – od dwóch firm (poza którymi innych nie ma), a które walczą o klienta poziomami produkcji. Żadna z koncepcji rozwiązania nie jest jedynie słuszną, niepodważalną wyrocznią. (Inaczej nie trzeba by tworzyć ustaw antykartelowych).

    REPLY

Inne artykuły

Zapraszamy na WMiI UMK

Studia na Wydziale Matematyki i Informatyki

Nasze szkolenia

iOS11 Design Patterns: szkolenie w Warszawie, 22-24.09.2017


Python – i Ty możesz programować: szkolenie dla nauczycieli, 13-14 września 2017 w Toruniu


Od zera do Apple kodera – szkolenie dla początkujących, 8-10 września 2017 w Warszawie


Xamarin – programowanie wieloplatformowe, 9-10 września 2017 w Toruniu

Ostatnie artykuły

Zapraszamy na UMK