728 x 90

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Nie taki kartel straszny

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Nie taki kartel straszny

W poście Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Kiedy (nie) warto rywalizować na rynku? pojawiła się sugestia, że zmowa przedsiębiorców (kartel) może być korzystna dla klientów, choć prawo zwykle zniechęca do takich umów pod groźbą kary. Zobaczymy to na przykładzie tzw. długiej ulicy Hotellinga.

Niech odcinek I będzie ulicą Hotellinga, a punkty tego odcinka – strategiami graczy F1 i F2. Gracze są handlarzami, którzy rywalizują o dobrą lokalizację. Jeśli F1 rozłoży swój stragan w punkcie X, F2 – w punkcie Y, zaś M będzie środkiem odcinka łączącego X z Y (M=(X+Y)/2), to zysk F1 wyniesie |I(X)|, a zysk F2 wyniesie |I(Y)|, gdzie |.| oznacza długość odcinka, natomiast I(P) oznacza odcinek łączący jeden z dwu końców odcinka I z punktem M, w taki sposób by I(P) zawierał P. Innymi słowy handlarze dzielą ulicę na dwie części w myśl zasady, że klient wybiera najbliższy stragan. (Zakładamy tu, że stragany mają bardzo zbliżony asortyment). Zyski są proporcjonalne do zaludnienia zajętej części ulicy (u nas: rozkład jednostajny; zróżnicowanie klienteli – także jednostajnie rozdystrybuowane). Gwoli ścisłości , w przypadku gdy handlarze obierają tę samą lokalizację – dzielą klientelę po równo, każdy uzyskując |I|/2.

W tym prostym modelu nietrudno zauważyć, że rywalizujący o lokalizację gracze mają do wyboru jedną równowagę Nasha – środek ulicy. Środek ulicy jest również optymalny w sensie Pareto.

A co z dobrem klienta? Możemy rozważyć średnią drogę klienta do najbliższego straganu (uśrednienie po całej ulicy/po wszystkich klientach). Okazuje się, że istnieją dwa inne optima Pareto, które przynoszą identyczne zyski jak w przypadku równowagi, ale są obarczone niższym kosztem społecznym mierzonym średnią drogą klienta do straganu. Mianowicie: F1 powinien stanąć w 1/4 długości ulicy, a F2 – w 3/4 lub na odwrót. Niestety, złowieszczy cień zdrady nakazuje handlarzom ustawić swe stragany w połowie ulicy. Gdyby jednak gracze ustanowili ,,grzeszny” kartel, to mogliby – przy zachowaniu zysków – obniżyć koszt społeczny. Nie wnikamy tu jednak w gwarancje solidności takich umów między graczami.

Możemy przetestować samodzielnie powyższe proste obserwacje bawiąc się apletem w GeoGebrze pod adresem https://www.geogebra.org/material/show/id/542  [Zasada Hotellinga].

Rozważania strategiczne nad długą ulicą Hotellinga zdają się mieć bardziej uniwersalny charakter. Niektórzy, używając argumentu bezpardonowej rywalizacji o wyborcę, tłumaczą w ten sposób ideologiczne parcie partii ku centrum (zob. Median voter theorem – animation). W przypadku wyborów mamy jednak znacznie poważniejsze problemy, gdyż żaden system głosowania nie jest bez wad. Najbardziej znany wynik matematyczny w tym zakresie występuje pod niezwykle charakterystyczną nazwą: twierdzenie Arrowa o niemożności. Czarna legenda tego twierdzenia może jedynie rywalizować z wizerunkiem Bogusława Radziwiłła odmalowanym w Potopie (S. Koper ,,Wielcy zdrajcy. Od Piastów do PRL”). Specjaliści próbują jednak zwalczyć tę – jak to przedstawia w swych wspomnieniach jeden z nich – pogrobową atmosferę i urealnić warunki stawiane idealnemu systemowi wyborczemu (D. Saari ,,Disposing dictators, demystifying voting paradoxes: social choice analysis”). Ale to już materiał na oddzielne opracowanie.

Źródło obrazu tytułowego: opracowanie własne autora.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked with *

Cancel reply

Inne artykuły