728 x 90

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Żołnierz Fortuny

Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Żołnierz Fortuny

Wielość równowag Nasha w grze powoduje wiele kłopotów. Gracze mogą mieć wspólny interes w uwspólnieniu decyzji, ale brak komunikacji będzie przeszkadzał im w koordynacji wyborów (zob. Na przekór pięknemu umysłowi Nasha: Nie unikniesz Pytii).  Pewnych prób zaradzenia sobie z wyborem między różnymi, trudnymi do porównania równowagami, dokonywali rozliczni badacze proponując coraz to wymyślniejsze wzmocnienia podstawowej definicji Nasha (np. trembling hand equilibrium – bez wskazywania przyczyny drżącej ręki i  przy założeniu przytomności wystarczającej, żeby przeanalizować drzewo decyzyjne). W trakcie swych poszukiwań Harsanyi i Selten wyróżnili dwa kryteria wyboru równowagi: dominacja ze względu na wypłaty i dominacja ze względu na ryzyko. Ostateczna teoria jest niestety kulawa – jeden z jej autorów, już rok po otrzymaniu  za swe dzieło Nagrody Banku Szwedzkiego im. Alfreda Nobla, gruntownie ową teorię zrewidował (o czym kiedyś wspominaliśmy).

W teorii gier dwuosobowych o sumie zerowej problem wyboru równowagi zdaje się nie istnieć.  Niewystępowanie problemu wyboru równowagi w teorii minimaksu von Neumanna tłumaczy się dwiema własnościami rozwiązań minimaksowych. Po pierwsze, niezależnie od wybranego rozwiązania minimaksowego, wypłaty są zawsze te same.  Druga własność eliminuje problem koordynacji wyborów. Owa własność to wymienność strategii znajdujących się w równowadze minimaksowej. Mianowicie, jeżeli pary strategii (x1,x2) i (y1,y2) stanowią rozwiązania minimaksowe gry (podkreślmy, gry dwuosobowej o sumie zerowej), to również pary (y1,x2) i (x1,y2) są rozwiązaniami minimaksowymi. Czyli, jeśli jeden z graczy nie skoordynuje się z drugim i – omyłkowo, drżącą ręką – wybierze strategię z innego minimaksu, to nic złego się nie stanie.

Zatem gry o sumie zerowej nie prowadzą do żadnych istotnych kontrowersji? No niezupełnie. Wypłaty minimaksowe są takie same, ale na ogół będą to wypłaty oczekiwane. W teorii von Neumanna nie da się uniknąć używania strategii mieszanych (rozkładów prawdopodobieństwa na strategiach czystych). Chociażby rozwiązanie gry w kamień-nożyce-papier tego wymaga. Jesteśmy skazani na wartość oczekiwaną – średnią teoretyczną. Jak to poetycko ujął pewien statystyk (nomen omen nazwiskiem Sienkiewicz): średnia jest do niczego; wkładasz jedną rękę do zamrażalnika, a drugą do piekarnika i jest ci średnio dobrze. Ważna jest też wariancja (zmiennej losowej).

Rozważmy pewną grę dwuosobową o sumie zerowej. Gracze ukrywają pod dłonią leżącą płasko na stole monetę. Dopuszczamy również, że gracz nie chowa monety, przy czym robi to w taki sposób, aby nie było widać, czy moneta faktycznie skrywa się pod dłonią, czy nie. Na sygnał gracze jednocześnie podnoszą dłonie i odsłaniają blat stołu. Jeśli obie monety odwrócone są do góry rewersem, albo obie – awersem, to wygrywa gracz nr 1; gracz nr 2 płaci mu 1zł. Jeśli jedna moneta ukazuje rewers, a druga – awers, to wygrywa gracz nr 2; gracz nr 1 płaci mu 1zł. Jeśli którykolwiek z graczy nie schował jednak pod dłonią monety, to mamy remis (0zł wypłaty dla każdego).

(Uważny Czytelnik pewnie zauważył, że nasza gra to rozbudowana o dodatkową strategię gra w monety – matching pennies).

Jakie jest rozwiązanie minimaksowe przedstawionej gry z użyciem monet? Oznaczmy dostępne trzy strategie: A – awers, R – rewers, P – pusta dłoń. Równowaga w strategiach czystych to (P,P), natomiast równowaga w strategiach mieszanych to (1/2 A + 1/2 R, 1/2 A + 1/2 R) oraz wynikające z własności wymienności równowagi mieszane (1/2 A + 1/2 R, P) i (P, 1/2 A + 1/2 R). Zapis 1/2 A + 1/2 R  oznacza, że z prawdopodobieństwem 1/2 wybierana jest strategia A i z tym samym prawdopodobieństwem strategia R. Wypłata oczekiwana każdego z graczy wynosi 0zł. W jednym z czterech przypadków (którym?) wariancja jest niezerowa (ile wynosi?) Oznacza to, że gracz ryzykuje odchylenie od średniej: bycie na minusie, a może na plusie w stosunku do 0zł. Fakt, że wariancja jest miarą ryzyka stanowi podstawę inżynierii finansowej (por. kurs ,,Modelowanie rynków finansowych” autorstwa M. Topolewskiego). Jedno jest pewne: gracz mocno zwracający uwagę na ryzyko (risk averse player) nie byłby zadowolony ze zbyt dużej wariancji wypłat oczekiwanych i – gdyby to było w jego odczuciu konieczne – rozważyłby bezpieczną grę poza ekwilibrium wyznaczonym przez strategie mieszane. W przypadku gry monetami opisanej powyżej, gracz nieskłonny do ryzyka może dokonać selekcji równowag i wybrać (P,P); w ogólności, trzymając się równowag, może jedynie minimalizować wariancję uzyskiwanych wypłat. Albo wyjść poza równowagi i zastosować pesymistyczne kryterium minimaksowe Walda (minimalizacja strat, gdy partner gry chce nam zaszkodzić). A może jest jeszcze inne rozwiązanie?

Czytelnik mógłby zechcieć pobawić się w wyznaczanie równowag konkretnych gier za pomocą komputera. Wystarczy w tym celu program Gambit (Software Tools for Game Theory).

Na koniec zwracam jeszcze uwagę, że w przypadku gier dwuosobowych o sumie zerowej rozwiązania minimaksowe, zdefiniowane wzorami zawierającymi minima z maksimów i maksima z minimów wypłat, to ni mniej ni więcej tylko równowagi Nasha zdefiniowane za pomocą nierówności na wypłatach (pozwoliłem sobie w artykule używać minimaksu i równowag wymiennie, choćby przy własności wymienności). Ponadto pojęcie optimum Pareto w ogóle nie jest ciekawe w przypadku gier dwuosobowych o sumie zerowej (dlaczego?). Na dobitkę powiem już tylko, że gra dwuosobowa o sumie niezerowej jest sprowadzalna do gry trzyosobowej o sumie zerowej (powód do dyskusji, gdy uwaga rzucona luźno); jedynie gry dwuosobowe o sumie zerowej mają swoją elegancką (choć nie bez skaz) teorię minimaksu von Neumanna.

Źródło obrazu: opracowanie własne autora

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked with *

Cancel reply

Inne artykuły